神奇的 π

自從加入了城邦的書虫俱樂部之後，書越買越多，家裡快成小圖書館了。不過隨時手邊有書可讀，也是蠻不錯的。

自國中學幾何以來，就說「π」 這個數是個非常奧妙的數字，但是卻從來不知道其所為何來？花二、三小時看完"神奇的 π"這本小書，終於為長久以來心中的疑惑，找到了解答。

π 的由來，應該是由土地量測與建築的問題而來的，所以一開始是為了"化圓為方"而有了圓周率的計算，各種的測量結果，給出不同準確度的π值大小。後來的達文西曾給出了一個最特別的解法：

如果讓圓的厚度等於此圓半徑的一半(r/2)，則將圓延著直線滾一圈後，所壓過的矩形面積( r/2 × 2 π r )即等於圓面積( π r ²)，

算是蠻聰明的作法，不過並沒有真正給出 π 值的大小。π的近似值從3、256/81、3又1/7、3又1/8、√10、…等不同的測量結果都出現過。

比較好玩的是幾種像聖經密碼般的說法：

• 聖經中提到圓周率為「3」，但希伯來文的「圓周」的讀法對換成數值後為111 與106，將111除以106再乘以3，就會得到

111÷106×3 =3.14150943..........

• π 是第16個希臘字母 (16=4²)；唸做～pi，p是第十六個英文字母(16=4²)、i則是第九個(9=3²)，二者相加得到25(16+9=25=5²)、相乘得到144(16×9=144=12²)，9÷16=0.5625 (=0.75²) ==> 圓中有方、方中有圓。

直接量測的方法，畢竟精準度有限。後來人們發現可以利用多邊形來逼近圓形，進而求出圓周長來。所以像祖沖之父子做出24,576個多邊形來近似，得到355/113的近似值來，應該已經算是不人道的做法了…沒想到還有位德國人Ludolf，竟然做到超過三百二十億邊的內接、外切多邊形逼近到二十位小數的準確度，毅力很可怕！

不過之後，人們就又發現了連結到三角函數，可以利用類似 tan(π/4)=1 的等式反求出π來，π/4=arctan 1，而

arctan x=x-x³/3+x⁵/5-x⁷/7+x⁹/9-x¹¹/11.......。

剩下的就是比不同的等式，級數的收斂速度了………。

再來電腦發明後，π的計算轉成了電腦計算能力的評估方式，由計算π值到某位小數所需的時間快慢，當成電腦計算能力好壞的指標 (Super PI)……。

所以近來偶爾會聽到有某某人可以把π背到小數以下×× ×位………，則又是π的新功能。

要背圓周率也是有方法的，像這首英文詩可以得到12位小數：(每個單字的字母數)

See	,	I	have	a	rhyme	assisting	my	feeble	brain,
3	.	1	4	1	5	9	2	6	5,
		its	tasks	oft-times	resisting.
		3	5	8	9

至於這首詩則可以得到31位小數

(3.1415926535897932384626433832795)：

Sir, I bear a rhyme excelling
In mystic force and magic spelling
Celestial sprites elucidate
All my own striving can't relate.
Or locate they who can cogitate
And so finally terminate. Finis.

唸過物理的人大概會比較喜歡這個句子，雖然只能提供十五位小數：

How I like a drink,
alcoholic of course,
after the heavy lectures
involving quantum mechanics.

不過最簡單、好記的應該算是這一個：

How I wish I could calculate pi.

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延伸閱讀：

1. Buffon 投針試驗：當圓周率計算遇上機率論

2. 3.14.2008/3月14日，科學「好人」的拍節

3. From 牽手(KanChue):
   The Pi Day (March 14) is also Albert Einstein's birthday.

   
   But the best of all is – I had a cherry that day :-)
   

1. 牛頓對 π 的微積分推導 (flash)：http://www.ltrc.mcmaster.ca/newton/pi.htm
   

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